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  摘要:学过高数的同学应该都知道连续,小编一直觉得连续听起来是个很简单的概念,但其实又很迷,有点说不清道不明。今天就来好好分析一下连续是什么,希望可以帮助大家理解的更透彻。

  连续---是我们微积分学中,对极限的第一个应用。从它字面意思或是深入到几何意义就是说,函数的图像是连绵不断的。

  在我们考研当中,对这个概念也是亲睐有加,在选择题中反复出现。

  ►首先,所谓连续即“极限值=函数值”

       这一个等式包含了三个方面,1、函数必须在该点处有定义;2、函数必须在这个点附近存在极限;3、是前面1、2两点的内容必须相等。

  同时满足这三个条件,才叫做函数在某点处连续。看到,判断函数连续,要先求极限。

  所以,如何求函数在该点处的极限值或是用极限存在的充要条件(左右极限存在且相等),是一个隐含的知识点。

  ►其次,我们自然会问,会不会有不连续的点呢?

       答案当然是肯定的,不连续的点就是我们所说的---间断点。

  那么所谓“不连续”就是不能同时满足连续的三个条件的点,即1、函数在该点处没有定义;2、若函数在该点有定义,但函数在该点附近的极限不存在;3、虽然函数在该点处有定义,极限也存在,但是二者不相等。

  对于间断点,根据左右极限存在与否,我们把它分为两类。

  若左右极限都存在的间断点,称为第一类间断点;若左右极限相等,这个间断点称为第一类间断点中的可去间断点;若左右极限不相等,这个间断点称为第一类间断点中的跳跃间断点。

  若左右极限中至少有一个不存在(包含极限等于无穷的情形)的间断点,称为第二类间断点;若其中一个极限是趋于无穷的,这个间断点就称为无穷间断点;若极限是在两个常数之间来回振荡的,就称为振荡间断点。

  ►最后,对于连续性最重要的应用或者是说考研中的一个小难点,就是闭区间上连续函数的三个性质:最大最小值定理、零点定理、介值定理。

  对于上面的知识点,我们看看在考研中是怎么考察的。

  对于连续的概念,难度上属于简单知识点。

  首先,在十五年前,对于连续性的考查,更多的是给一个分段函数,然后判断分段点处函数的连续性,这是一个基本题型,只需判断连续的三个条件即可,其实主要是考查求函数某点处左右极限的值。

  然后,进入20世纪,考查又倾向于在选择题当中,给一个函数,让大家来判断这个函数有多少间断点,间断点的类型是什么,这个又比之前考查的更高一层。

  在逻辑推理题中,考查零点定理,介值定理,通常,考查介值定理的时候也会用到最值定理。

  我们归纳题型知道,判断方程根的情况的时候,一般用零点定理;题干中包含好几个函数值相加的时候,一般用介值定理。具体在证明题中怎么用,会在专门的证明题专题中讲解。

  (实习小编:加油猪)

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